האדמו"ר רבי שאול ידידיה אלעזר טאוב נולד לאביו האדמ"ור רבי ישראל בהושענא רבה בשנת תרמ"ז (ובלשון החסידים שנת זמר"ת) בעיירה אוז'רוב. כבר בנעוריו נתפרסם בכישרונותיו הגדולים בתורה ונגינה, ובעודנו צעיר לימים כבר החל לחבר ניגונים משלו, התפרסם גם ביופי תארו ובאצילותו המלכותית, היה רב-רבנן, מגדולי התורה שבדור, בין בנגלה ובין בנסתר ועובד ה' בהתלהבות ובמסירות נפש.
אף שלא היה בנו הבכור של רבי ישראל, נבחר רבי שאול ידידיה למלא את מקום אביו האדמו"ר.
זמן קצר לפני שנסתלק רבי ישראל ממודז'יץ מן העולם, הזמין אליו את בניו, וביקש מהם לשיר לפניו את נוסח התפילה והניגונים של הימים הנוראים. במקום מסוים בשירת הנוסח שגו כל הבנים מלבד רבי שאול ידידיה. לאחר שהקשיב רבי ישראל לכולם, הוא פנה לרבי שאול ידידיה ואמר לו: אתה שר את ה'נוסח' בצורה הנכונה ביותר, ובכך הכתיר אותו לממלא מקומו.
תמיד לרגלי כל מאורע נוצר ניגון חדש שביטא את כל מה שהתרחש בלבו. הרבה צרות עברו עליו בחייו ובהן אסונות משפחתיים קשים, בכל זאת לא הראה עצב ויגון על פניו ולא נתן להצטער לאלה שרצו להשתתף בצערו ובאסונו.
בהיותו גדול בתורה שימש ברבנות בכמה קהילות – משנת תרפ"ב בראקוב וקארצ'וב. בשנת תרפ"ט עבר לאוטבוצק ובית מדרשו שם היה למרכז עצום של תורה ונגינה. אלפים היו באים לשמוע מנגינותיו ותורותיו,.
לראשונה ביקר בארץ בשנת תרפ"ח. ביקוריו בארץ עשו רושם רב על כל היושבים בה באותו הזמן, החרדים מחד והחלוצים שלא היו שומרים תורה ומצוות מאידך, את כולם הוא קירב, עודד וחיזק. אהבתו לארץ ישראל עברה כל גבול ועשרות אמרות נפוצות בשמו בשבחה של הארץ. בספרו 'אמרי שאול' הוקדש מדור מיוחד לתורותיו בענין ארץ ישראל והדברים מרשימים ביותר.
מיד עם פרוץ מלחמת העולם השניה ברח לכיוון רוסיה ותקופה ניכרת שהה בוילנא. שהותו בוילנא הפיחה סם חיים באלפי הפליטים. בוילנא שהו באותה עת פליטים יהודים, ביניהם בחורי ישיבה רבים מבריסק, מיר וסלבודקא, שחיו במצוקה קשה. רבי שאול ידידיה עודד את רוחם של הפליטים הללו. אל סעודות ה'טיש' שערך שם הגיעו אפילו מתנגדים מושבעים, כדי לשמוע את ניגוניו, לזקני בריסק זכורים עד היום ניגונים מפותחים ומורכבים שלמדו באותה עת על שלחנו של הרבי.
הניגונים הנוגים שחיבר בוילנא משקפים את הטרגדיה הקשה שפקדה באותם ימים את העם היהודי. ביניהם ייזכרו לחניו לתפילות 'הבט משמים וראה', 'לא למעננו' ולפיוט 'שומר ישראל'. כמה משומעי הניגונים הללו בוילנא רשמו אותם בתווים, וכך נשתמרו.
בברוקלין אשר בניו יורק שאליה הגיע בניסי נסים, חידש את חסידות מודז'יץ וגם שם נהרו המונים אל בית מדרשו. ניגוניו ותורותיו זכו לתפוצה עולמית ואין פינה בעולם שבה לא יושמעו ניגוניו והרבה התקרבו לאביהם שבשמים בהשפעתו.
בניו יורק החלו להוציא מחדש את הקבצים 'תפארת ישראל' שחוברתו הראשונה הופיעה בפולין בכסלו-טבת תרצ"ו. בפולין הופיעו ששה קונטרסים ובהם דברי תורה של רבי שאול, אבותיו וזקניו. החל מהחוברת השביעית שהופיעה בארה"ב נדפסו גם תווים של ניגוני מודז'יץ. החוברת הראשונה שהופיעה באמריקה היתה באלול תש"א, לאחריה הופיעה החוברת בכסלו תש"ב. שבעה קונטרסים כאלה הופיעו בארה"ב.
בשנת תש"ז הוציא רבי שאול ידידיה את שאיפתו מן הכח אל הפועל, הוא עלה לארץ ישראל על מנת להתיישב בה יישוב קבע. בכל מקום שאליו הגיע בארץ משך אליו רבים והותיר עליהם רושם רב, ואף שכבר חלה במחלה ממנה לא נרפא בכל זאת לא ויתר בכי הוא זה על דרכו בעריכת שולחנות וקבלת קהל, כשכל מגמתו לעודד ולשמח יהודים באותם זמנים קשים, ולקרבם כל אחד באשר הוא לאביהם שבשמים.
ביום שבת ט"ז כסלו תש"ז הכריע אותו מחלתו והוא הסתלק לגנזי מרומים. בהלוויתו השתתפו אלפים, ביניהם אדמו"רים ורבנים רבים, והיתה זו ההלוויה הרשמית האחרונה שהועברה להר הזיתים. רק לאחר שחרור ירושלים נקבעה המצבה על קברו.
בניו: רבי שמואל אליהו ממודז'יץ, רבי יהושע יחזקאל, רבי יצחק, רבי ישראל, רבי דוד, רבי הרשל.
דברי תורתו, מקצתם מכתבי יד וקבצים ששרדו את המלחמה (רוב כתבי ידו אבדו בזמן המלחמה) ורובם מדברים שאמר לאחריה, נדפסו בספרים 'אמרי שאול' ו'ישא ברכה'. מקצת ניגוניו נדפסו במרוצת השנים בספרים וקבצים רבים.
